Türev Soruları

Sayılar AYT 2018-2025 dökümünden. Analiz kotasının nasıl sıralandığı AYT matematik testleri sayfasında. Burada türev tekniği var. Test 40 sorudur, yanlışlar dörde bölünerek netten düşer.

f′(a), a noktasında anlık değişim oranıdır: h→0 iken [f(a+h)−f(a)]/h limiti. Geometride teğetin eğimi, fizikte anlık hız. Limit yoksa bu ifade ezber “üssü öne al”a iner; parçalı fonksiyonda sağ ve sol türev ayrı limitlerdir. f a’da sürekli değilse türev de yoktur — süreklilik gerekli, yeterli değil. Köşe (mutlak değer grafiğindeki V) sürekli olup türevsizdir: sağ ve sol eğimler ayrılır.

Tanım sorusu çoğu zaman “limit ile türevi yaz” veya “h→0 ifadesi hangi fonksiyonun türevi” kalıbıdır. İfadeyi [f(x+h)−f(x)]/h biçimine getir; f’yi tanı. Paydada h yoksa veya payda √(x+h)−√x ise çarpanlara ayır / eşlenik; bu hâlâ tanım sorusudur, integral değil.

Toplam ve sabit kat: terim terim. Çarpım: (uv)′ = u′v + uv′ — iki fonksiyonun çarpımı, özellikle polinom × trigonometrik. Bölüm: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v² — payda karesini unutmak en sık işaret kaybı. Zincir: dışın türevi × için türevi; f(g(x)) ve bileşke, üstel-logaritma, trigonometrik iç fonksiyon. “Üssü öne al” yalnız xⁿ içindir; (3x+1)⁵’te zincir şart, 5(3x+1)⁴ yetmez, 5(3x+1)⁴·3 yazılır.

Soru tipi kuralı seçtirir. “f·g’nin türevi 0 olan nokta” çarpım kuralı + çarpanlardan biri sıfır. “f/g yatay teğet” payın türevi sıfır değil, bölüm türevinin payı sıfır: u′v − uv′ = 0. Bileşke tablosu verilmişse zincir: dış tablo, iç başka tablo. e^(kx) ve ln(g(x)) her seferinde zincir; ln|x| türevi 1/x, mutlak değeri unutup tanım aralığını kaçırma.

Teğet: eğim f′(a), denklem y − f(a) = f′(a)(x − a). Normal, teğete dik: eğimi −1/f′(a) (f′(a) ≠ 0). “Teğet x eksenine paralel” f′(a)=0; “y eksenine paralel” dikey teğet, türev sonsuz veya tanımsız (dikkat: tanımsız her zaman dikey teğet demek değil, köşe de tanımsızdır).

Artan-azalan: f′ > 0 açık aralıkta artan, f′ < 0 azalan. Kritik nokta f′=0 veya f′ tanımsız (tanım kümesinde). Birinci türev testi: işaret −’den +’ya minimum, +’dan −’ye maksimum. İkinci türev: f′(c)=0 ve f″(c)>0 yerel min, f″(c)<0 yerel max; f″(c)=0 ise test susar, birinciye dön. Büküm: f″ işaret değiştirdiği nokta; f″=0 yetmez, işaret değişmeli.

Maksimum-minimum problemi: hedef niceliği tek değişkene indir (alan A(x), çevre sabit), tanım aralığını yaz (kenar > 0, kapalı kutu ise uçlar), A′(x)=0 kritik, uçlarda da değer karşılaştır. Tuzak: türevi sıfır bulup ucu kontrol etmemek; kapalı aralıkta mutlak ekstremum uçta da olabilir.

Tanımsızlık: kök içi, payda, ln argümanı, tan tanımı. Türev kuralını uygulayıp tanım kümesini unutmak, şıkta “tüm gerçel” tuzağına düşürür. Mutlak değer: |x−a| at a köşesidir; a’da türev yok, a dışında işaretine göre doğrusal. Parçalı fonksiyon: birleşme noktasında önce süreklilik (sol değer = sağ değer = f(c)), sonra sol türev = sağ türev. Biri eksikse türev yok. “Parametre k için türevlenebilir” bu iki denklemi birlikte ister.

Grafik okuma: f′ grafiğinden f’nin artan aralığı, f grafiğinden teğet eğimi. f′ grafiğinin x eksenini kestiği yer f’nin kritik noktasıdır; f′’nin işaret değişimi ekstremum türünü verir. f ile f′ grafiğini karıştırmak klasik kayıp: “bu f′ ise f nerede max” diye sorulur, tepe noktası f′’nin sıfırı değildir, f′’nin +’dan −’ye geçtiği yerdir.

Sıra: limit-süreklilik, tanım, polinom-üssü kuralları, çarpım bölüm zincir, teğet, monotonluk, ikinci türev, max-min, parçalı ve mutlak değer. Ünite sayfasındaki çözümlü sorular (9 adet) kural oturduktan sonra; bu sayfadaki yöntemi orada görme. Integral ünitesi türevin tersi olarak sonra gelir.

AYT 160 soru, 180 dakika; matematik 40. İlk turda polinom türevi ve teğet, ikinci turda parçalı ve max-min. Dört yanlış bir doğruyu götürür. Yanlış defteri: zinciri unuttum, bölüm paydasını karelemedim, uç ekstremumu atladım, parçalıda yalnız sürekliliğe baktım. Aynı türe iki hafta düşüyorsan o gün yalnız o tuzak.